Ⅳ. 집합과 명제 대단원 평가 문제
집합 [eqn: A= LEFT { x``|`x는``12``이하의``소수 RIGHT }]라고 할 때, 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는? 01 • 3점 ① [eqn: 4] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 64] 두 집합 [eqn: A= LEFT { a,``c RIGHT } ,~B= LEFT { a,``b,``c,``d,``e RIGHT }]에 대하여 [eqn: A SUBSET X]이고 [eqn: X SUBSET B`]인 집합 [eqn: X]의 개수는? 02 • 4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 32] 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]의 부분집합 중 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는? 03 • 4점 ① [eqn: 32] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 4]	집합 [eqn: A= LEFT { x``□`x는``10``이하의``소수 RIGHT }]의 진부분집합 중에서 원소 [eqn: 7]을 포함하는 집합의 개수는? 04 • 4점 ① [eqn: 7] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11] 두 집합 05 [eqn: A= LEFT { 1,``3,``4 RIGHT } ,~B= LEFT { x,``x+1,``x+3 RIGHT }] 에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 3,``4 RIGHT }]일 때, 상수 [eqn: x]의 값은? • 3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 두 집합 06 [eqn: A= LEFT { x``□`1<x<3 RIGHT } ,~B= LEFT { x``□`x>k-1 RIGHT }] 에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B=EMPTYSET]이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? • 4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

대단원 평가 문제
집합 [eqn: A,``B,``C`]에 대하여 07 [eqn: A SMALLINTER B=EMPTYSET,~A SUBSET C] 일 때, 다음 중 [eqn: A SMALLINTER (B CUP C`)]와 같은 것은? • 4점 ① [eqn: A] ② [eqn: B] ③ [eqn: C] ④ [eqn: B SMALLINTER C] ⑤ [eqn: B CUP C] 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A,~B]가 다음을 만족시킨다. 08 [eqn: (A CUP B) ^{rm C it} `= LEFT { 5,``6 RIGHT } ,~A SMALLINTER B`= LEFT { 3 RIGHT } ,~B-A= LEFT { 4 RIGHT }] 이때 집합 [eqn: A]의 진부분집합의 개수는? • 5점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9] 다음 중 명제인 것은? 09 • 3점 ① 날씨가 맑다. ② [eqn: 5x-3>0] ③ [eqn: x=1]이면 [eqn: 4x-2=2]이다. ④ [eqn: -1]은 작은 수이다. ⑤ 어떤 영화는 재미있다.	전체집합 [eqn: U= LEFT { x``□`-2 LEQ x LEQ 2,``x는``정수 RIGHT }]이고 두 조건 [eqn: p,~q]가 [eqn: p``:`x ^{2} -x-2=0,~q``:`x ^{2} =1]일 때, ‘[eqn: SIM p] 또는 [eqn: q]’의 진리집합은? 10 • 4점 ① [eqn: EMPTYSET] ② [eqn: LEFT { -1,~2 RIGHT }] ③ [eqn: LEFT { -1,``0,``1 RIGHT }] ④ [eqn: LEFT { -2,``-1,``0,``1 RIGHT }] ⑤ [eqn: U] 두 조건 [eqn: p``:`2<x<6,~q``:`x LEQ a]에 대하여 명제 [eqn: p`` -> `q]가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값은? 11 • 3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10] 두 조건 12 [eqn: p``:`(x-2) ^{2} =a,~q``:`x=5] 또는 [eqn: x=b] 에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건일 때, 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? • 4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]

대단원 평가 문제
실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 세 조건 [eqn: p,``q,``r]가 13 [eqn: p``:`(a-b)(b-c)=0,] [eqn: q``:`a=b=c,] [eqn: r``:`a ^{2} +b ^{2} =2c(a+b-c)] 일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? • 4점 |보기| ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이다. ㄴ. [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 필요조건이다. ㄷ. [eqn: q]는 [eqn: r]이기 위한 필요충분조건이다. ① [eqn: ㄱ] ② [eqn: ㄴ] ③ [eqn: ㄷ] ④ [eqn: ㄴ,``ㄷ] ⑤ [eqn: ㄱ,``ㄴ,``ㄷ] [eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a>b]이기 위한 필요충분조건인 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? 14 • 5점 |보기| ㄱ. [eqn: a-b>0] ㄴ. [eqn: {b} over {a} <1] ㄷ. [eqn: |a|>|b|] ① [eqn: ㄱ] ② [eqn: ㄴ] ③ [eqn: ㄱ,``ㄴ] ④ [eqn: ㄱ,``ㄷ] ⑤ [eqn: ㄱ,``ㄴ,``ㄷ]	두 조건 [eqn: p``:`|x-1|<2,~q``:`x>a]에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 최댓값은? 15 • 5점 ① [eqn: rm -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: rm 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건 [eqn: p,``q]가 16 [eqn: p``:`|x-1|<a,] [eqn: q``:`-5<x LEQ 3] 또는 [eqn: 5 LEQ x<9] 일 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값의 범위는? • 5점 ① [eqn: 0<a LEQ 2] ② [eqn: 0<a LEQ 6] ③ [eqn: a GEQ 8] ④ [eqn: a GEQ 4] ⑤ [eqn: 4 LEQ a LEQ 8] [eqn: a>0,~b>0]일 때, [eqn: LEFT ( a+ {9} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+ {4} over {a} RIGHT )]의 최솟값은? 17 • 4점 ① [eqn: 21] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 23] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 25]

대단원 평가 문제
서 답 형 서 술 형 자연수를 원소로 가지는 집합 [eqn: S]가 조건 18 ‘[eqn: x IN S`]이면 [eqn: 14-x IN S`]이다.’ 를 만족시킬 때, 공집합이 아닌 집합 [eqn: S`]의 개수를 구하시오. • 5점 두 집합 19 [eqn: A= LEFT { 2,``5,``x+1 RIGHT } ,~B= LEFT { 3,``y-2,``2 RIGHT }] 에 대하여 [eqn: A SUBSET B`]이고 [eqn: B SUBSET A`]일 때, [eqn: x+y]의 값을 구하시오. • 4점 두 조건 [eqn: p``:`a LEQ x LEQ 5,~q``:`x GEQ -3a-9]에 대하여 명제 [eqn: p`` -> `q]가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오. 20 • 4점	전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A,~B]에 대하여 다음 |보기|에서 [eqn: A,~B]가 서로소이기 위한 필요충분조건인 것을 모두 고르시오. 21 • 4점 |보기| ㄱ. [eqn: A SMALLINTER B=EMPTYSET] ㄴ. [eqn: A=A SMALLINTER B] ㄷ. [eqn: A=A CUP B] ㄹ. [eqn: A SUBSET B ^{RMC}] 두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 22 [eqn: P= LEFT { x``□`a-1 LEQ x LEQ a+1 RIGHT } ,] [eqn: Q= LEFT { x``□`-1<x<2~또는~3 LEQ x LEQ 7 RIGHT }] 이라고 할 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오. • 5점 서 술 형 두 조건 [eqn: p,~q]가 [eqn: p``:`1<x LEQ 8,~q``:`|x-a| LEQ 1]일 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오. 23 • 5점 서 술 형 두 조건 24 [eqn: p``:`x<1] 또는 [eqn: x>3], [eqn: q``:`|x-a|<2] 에 대하여 [eqn: SIM p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오. • 5점

집합과 명제

정답 및 풀이

Ⅳ

1. ④	2. ③	3. ②	4. ①	5. ③

6. ④	7. ①	8. ④	9. ③	10. ④

11. ①	12. ①	13. ④	14. ①	15. ②

16. ③	17. ⑤	18. [eqn: 127]	19. [eqn: 9]	20. [eqn: -2]

21. ㄱ, ㄹ	22. [eqn: 15]	23. [eqn: 25]	24. [eqn: 1<a<3]

[eqn: 2 ^{5-2} =2 ^{3} =8]

2

[eqn: 2 ^{5} -2 ^{3} =24]

3

[eqn: 2 ^{4-1} -1=7]

4

[eqn: k-1 GEQ 3], 즉 [eqn: k GEQ 4]이어야 하므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

6

[eqn: A SMALLINTER (B CUP C)=(A SMALLINTER B) CUP (A SMALLINTER C)][eqn: =EMPTYSET CUP A=A]

7

주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽과 같다. 따라서 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: A]의 진부분집합의 개수는

8

[eqn: 2 ^{3} -1=7]

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 하면

10

[eqn: P= LEFT { -1,``2 RIGHT } ,~Q= LEFT { -1,``1 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE `P ^{rm C it} ` CUP Q][eqn: = LEFT { -2,``-1,``0,``1 RIGHT }]

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 [eqn: P,~Q]라고 하면 [eqn: 5 IN P]이어야 하므로

12

[eqn: (5-2) ^{2} =9=a]

[eqn: (x-2) ^{2} =9]에서    [eqn: x=5] 또는 [eqn: x=-1]

[eqn: THEREFORE `b=-1]

[eqn: THEREFORE `a+b=8]

[eqn: p`:`(a-b)(b-c)=0~~ LRARROW ~~a=b] 또는 [eqn: b=c]

13

[eqn: q``:`a=b=c]

[eqn: r``:`a ^{2} +b ^{2} =2c(a+b-c)]

[eqn: LRARROW `(a-c) ^{2} +(b-c) ^{2} =0]

[eqn: LRARROW ~a=b=c]

ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

ㄴ. [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 필요조건이다.

ㄷ. [eqn: q]는 [eqn: r]이기 위한 필요충분조건이다.

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: a-b>0~~ LRARROW ~~a>b]

14

ㄴ. [eqn: a=-1,~b=2]이면 [eqn: {2} over {-1} <1]이지만 [eqn: -1<2]이다.

ㄷ. [eqn: a=-2,~b=1]이면 [eqn: |-2|>|1|]이지만 [eqn: -2<1]이다.

이상에서 [eqn: a>b]이기 위한 필요충분조건인 것은 ㄱ뿐이다.

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이려면

15

[eqn: LEFT { x``□`|x-1|<2 RIGHT } SUBSET LEFT { x``□`x>a RIGHT }]이어야 한다.

따라서 [eqn: a LEQ -1]이므로 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -1]이다.

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 하면

16

[eqn: P= LEFT { x``□`-a+1<x<a+1 RIGHT }],

[eqn: Q= LEFT { x``□`-5<x LEQ 3~또는~5 LEQ x<9 RIGHT }]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이려면 [eqn: Q SUBSET P]이어야 한다.

[eqn: -a+1 LEQ -5,~a+1 GEQ 9]    [eqn: THEREFORE `a GEQ 8]

[eqn: LEFT ( a+ {9} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+ {4} over {a} RIGHT ) =ab+4+9+ {36} over {ab}]

17

[eqn: GEQ 13+2 sqrt {{ab}cdot {36} over {ab}}][eqn: =25]

(단, 등호는 [eqn: ab=6]일 때 성립)

따라서 [eqn: LEFT ( a+ {9} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+ {4} over {a} RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 25]이다.

[eqn: x IN S`]이면 [eqn: 14-x IN S`]이므로 [eqn: (1,``13)], [eqn: (2,~12)],

18

[eqn: (3,~11)], [eqn: (4,``10)], [eqn: (5,``9)], [eqn: (6,``8)] [eqn: (7)]의 순서쌍은 동시에 집합 [eqn: S``]의 원소가 되어야 한다.	□□

따라서 공집합이 아닌 집합 [eqn: S``]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -1=127]	□□

채점기준표		점수
❶	동시에 집합 [eqn: S]의 원소가 되어야 하는 자연수들의 순서쌍을 구할 수 있다.	4
❷	공집합이 아닌 집합 [eqn: S]의 개수를 구할 수 있다.	1

[eqn: A SUBSET B]이고 [eqn: B SUBSET A]에서 [eqn: A=B]이므로

19

[eqn: x+1=3,~y-2=5]    [eqn: THEREFORE `x=2,~y=7]

[eqn: THEREFORE `x+y=9]

두 조건 [eqn: p,``q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 하면

20

[eqn: P= LEFT { x``□`a LEQ x LEQ 5 RIGHT } ,] [eqn: Q= LEFT { x``□`x GEQ -3a-9 RIGHT }]

명제 [eqn: p`` -> `q]가 참이려면 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 하므로

[eqn: -3a-9 LEQ a]    [eqn: THEREFORE `a GEQ - {9} over {4}]

따라서 정수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: -2]이다.

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이려면 [eqn: P SUBSET Q]이어야 하므로

22

(i) [eqn: LEFT { x`□`a-1 LEQ x LEQ a+1 RIGHT } SUBSET LEFT { x`□`-1<x<2 RIGHT }]일

때

[eqn: a-1>-1,~a+1<2]    [eqn: THEREFORE `0<a<1]

(ii) [eqn: LEFT { x``□`a-1 LEQ x LEQ a+1 RIGHT } SUBSET LEFT { x``□`3 LEQ x LEQ 7 RIGHT }]일 때,

[eqn: a-1 GEQ 3,~a+1 LEQ 7]    [eqn: THEREFORE `4 LEQ a LEQ 6]

(i), (ii)에서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 15]이다.

조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 하면

23

[eqn: P= LEFT { x``□`1<x LEQ 8 RIGHT } ,]

[eqn: Q= LEFT { x``□`|x-a| LEQ 1 RIGHT }][eqn: = LEFT { x``□`a-1 LEQ x LEQ a+1 RIGHT }]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이려면 [eqn: Q SUBSET P]이어야 하므로

[eqn: a-1>1,~a+1 LEQ 8]

[eqn: THEREFORE `2<a LEQ 7~]	□□

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 25]이다.	□□

채점기준표		점수
❶	[eqn: a]의 값의 범위를 구할 수 있다.	4
❷	모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구할 수 있다.	1

조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라 하면

24

[eqn: P= LEFT { x``□`x<1~또는~x>3 RIGHT } ,]

[eqn: Q= LEFT { x``□`|x-a|<2 RIGHT }][eqn: = LEFT { x``□`a-2<x<a+2 RIGHT }]

[eqn: SIM p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이려면 [eqn: P ^{RMC} ` SUBSET Q]이어야 하므로

[eqn: a-2<1,~a+2>3]	□□

[eqn: THEREFORE `1<a<3]	□□

채점기준표		점수
❶	[eqn: SIM p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 조건을 알 수 있다.	4
❷	[eqn: a]의 값의 범위를 구할 수 있다.	1